Lecture 5 - Continuous Random Variables

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Important Continuous Random Variables

대표적인 연속 확률변수의 식들을 살펴보자.

 

Uniform Random Variable

 

 

Exponential Random Variable

 

 

Gaussian Random Variable

 

Gaussian Random Variable의 CDF 근사치표

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Functions of a Random Variable

Case 1

X: discreate RV g(X) : continue

문제 상황에서 X의 확률에 관한식 fx(X)와 Y=g(X)라는 Y와 X의 관계식이 주어졌을때 Y의 확률에 관한식 fy(Y)를 구하는 과정에 대해서 알아보자. 이전부터 다룬 간단한 예시인 동전 던지기 예시로 살펴보면 다음과 같다.

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Case 2

X: continuous RV    g(X): continue + monotonically increasing/decreasing

P(Y≤y) = P({x| Y≤y에 해당하는 x의 영역)= P(X≤x)

적분식은 위와 같이되고 fY(y)를 구하기 위해 y에 대하여 미분하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

 

P(Y≤y) = P({x| Y≤y에 해당하는 x의 영역)= P(X ≥ x)=1 - P(X ≤ x)

단조증가와 단조감소의 차이점을 쉽게 볼 수 있다.

마찬가지로 적분식은 위와 같이되고 fY(y)를 구하기 위해 y에 대하여 미분하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

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Case 3

X: continuous RV g(X) : continue + non-monotonic

 

Solution 1

 

P(Y≤y) = P({x| Y≤y에 해당하는 x의 영역)

양변을 y에 대하여 미분한다.

 

위 방식의 예시를 살펴보자.

X가 continuous RV이고 Y를 Y = X^2 로 정의했을때 그 그래프는 다음과 같이된다.

이때 Y의 PDF와 CDF는 다음과 같이 구할 수 있다.

 

{Y≤y} event는 {X^2≤y} 또는 {-√y ≤ X ≤ √y}에서 발생한다.

 

CDF

 

PDF

 

 

Solution 2

 

또다른 풀이법으로는 공식을 이용하는 방법이 있다.

이때 𝑥𝑘는 Y=g(X) 의 근이다.

이를 문제풀이에 적용하면 다음과 같다.

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마르코프 부등식 (Markov Inequality)

마르코프 부등식은 음수가 아닌 Random Variable에 대해 성립하는 부등식이다. 마르코프 부등식의 정의부터 보면 다음과 같다.

X가 음수가 아닌 값을 가지는 RV라고 했을때, α>0를 만족하는 임의의 상수 α에 다음이 성립한다.

이를 그림으로 보면 다음과 같다.

그림에서 볼 수 있듯이 마르코프 부등식이 의미하는 것은 전체 데이터 분포에서 기댓값을 기준으로 랜덤변수 x가 어떤 극값 α보다 클 확률에 관한 것이다.

이를 식을 통해 증명해보면 아래와 같다.

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체비셰프 부등식 (Chebyshev Inequality)

 X와 α에 대한 제약 조건이 없으나 절대값 부호에서 볼 수 있듯이 양측 극값 E[X]±α에 대한 부등식이다.

그림으로 부등식을 이해해보면 아래와 같다.

 

따라서 D^2 = (X-m)^2 라 했을때 Variance의 정의를 이용하여 아래와 같이 식을 쓸 수 있다.

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Transform Method

확률변수의 특성함수(characteristic function)는 각각의 확률분포와 일대일대응이 되는 함수로, 특성함수를 이용하여 확률분포의 기댓값이나 분산 등의 값을 알아낼 수 있다. 특성함수는 모멘트생성함수와 유사하지만, 모멘트생성함수는 일부 분포에 대해서 존재하지 않을 수 있는 것에 비해 특성함수는 실수값에 대하여 항상 존재한다. 다음은 불규칙 Random Variable인 경우의 특성함수식이다.

Characteristic function을 이용하여 E[X^n]을 계산하는 방법은 다음과 같다.

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Basic Reliability Calculations

R(t)를 reliability at time t라고 하고 T를 component의 lifetime이라고 두었을때 식은 아래와 같다.

따라서 E[T] 즉 mean time to failure(MTTF)는 아래와 같이 계산된다.

 

예시를 보자면 우선 T>t일때 T의 조건부 cdf, pdf는 아래와 같다.

이때 failure rate function r(t)는 x=t에서 아래와 같이 정의된다.

그리고 이 함수는 아래와 같은 의미를 갖는다.

이는 다시 말해, r(t)dt는 시간 t까지 작동한 component가 다음 dt초 내에 고장날 확률이다.

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