Lecture2 - Sequential experiments

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Sequential experiments

연속적인 실험의 예시를 봐가며 이해를 해보자.

0에서1 사이의 무작위 실수 10개를 선택했을때 초기 5개의 숫자는 1/4이하이고 그후 5개의 숫자는 1/2이상일 확률을 구하는 것이다.

우리는 당연히 (1/4)^5 * (1/2)^5로 계산을 할 것이다. 각각의 event가 독립적이기 때문에 이런식으로 곱으로 표현하면된다.

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The Binomial Probability Law

동전의 앞뒷면 같이 둘중의 하나의 결과로 나오는 binomial한 상황이다.

이때 (nk) (세로로 나열)은 nCk 즉 n개 중에서 k번을 선택하는 경우의 수 이다.

이 경우도 eror, not error 두가지로 나누어지는 예시문제를 통해 알아보자.

 

encoding, decoding과정에서 오류가 생겨 신호전달이 잘못될 가능성을 낮추기 위해서 0을 보내고 싶다면 000이런식으로 보내는 encoding방식에 대한 문제이다. 이때 decoder는 연속된 3개의 숫자중 더 많은 숫자로 판단한다. 예를들어 101은 1로 001은 0으로 판단하는 것이다. 따라서 위의 해설처럼 3C2에 오류확률 0.001을 두번 곱하고 오류가 아닐 확률 0.999를 한번곱한값은 두번 오류가 나서 잘못 판단하게 되는 경우이고, 3C3에 오류확률 0.001을 3번 곱한 것은 3개모두 오류가 나서 잘못 판단할확률이다 얼핏 계산해보아도 0.000003으로 오류확률을 0.001에서 0.000003으로 300배이상 낮출 수 있다.

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Multinomial Probability Law

이번엔 선택지가 두개가 아니라 여러개인 경우이다.

바로 식부터 확인하면 다음과 같다.

보다시피 Multinomail의 경우 outcome이 M가지로 다양하게 나올 수 있다.

 

예제를 통해 살펴보자.

다트가 3개로 나누어진 판에 착지할 확률이 각각 0.2 0.3 0.5인데 각각 3번씩 공평하게 맞출 확률에 대한 계산이다. Binomial에서 사소한 변화만 있음을 볼 수 있다.

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Geometric Probability Law

Geometric의 outcome은 처음 success가 나올 때 까지 반복 수행된 sub-experiment의 횟수이다.

성공, 실패 두가지의 결과만 존재하는것은 Binomial과 유사하지만 조금 다른 것을 알 수 있다.

위 식은 m번째에 success할 확률을 나타낸 것을 알 수 있다.

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추가적으로 바로 직전 event가 다음의 event에 영향을 주는 경우를 간단하게 살펴보자.

단적으로 다음과 같은 상황이다.

이런 경우 판단하기 매우 어려울 것같지만 다음과 같은 방식으로 따져보면 바로 직전과 현재 확률만 조사하면됨을 알 수 있다.

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Markov chains

교집합을 조건부 확률의 곱으로 표현할 수 있는 마르코프 체인이다.

이를 증명하는 과정에서 위의 식이 성립함을 이용한다.

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