Lecture 6 - Pairs of Random Variables(1)

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Two Random Variables

확률변수가 여러개인 경우 아래와 같이 각각 축을 맡아서 pdf와 cdf를 표현하게 된다.

그런식으로 표현하면 위와 같이 두변수의 상관관계를 알아볼 수 있다.

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Joint CDF of X and Y

X와 Y의 joint CDF를 그래프에 그리는 방식을 살펴보자.

이번엔 조금더 복잡한 예시를 통해 알아보자.

 

Sample space S가 (1,1), (2,1), (3,3) 3개의 원소로 구성된다고 했을 때 각 원소에 대한 확률은 아래와 같다. 이때의 joint CDF의 그래프를 그리고 식을 작성해보자.

우선 식은 아래와 같이 작성할 수 있다.

그래프를 그리는 것이 조금 복잡할 수 있는데 이는 아래와 같이 생각할 수 있다.

이를 기반으로 그래프를 그리면 다음과 같다.

알아보기 조금힘들지만 느낌만 가져가도록 한다.

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Joint CDF의 성질

세번째 성질은 아래와 같이 증명된다.

다섯번째 성질은 아래와 같이 증명된다.

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Continuous RV의 Joint PDF

이전에 다루었던 PDF의 성질과 같이 joint PDF도 미분을 통해 구할 수 있다.

위에서 봤던 예시를 통해 PDF의 그래프와 식도 구해보면 아래와 같다.

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Joint PDF의 성질

 

2번 성질은 아래와 같이 증명된다.

3번 성질은 아래와 같이 증명된다.

4번 성질은 아래와 같이 증명된다.

5번 성질은 아래와 같이 증면된다.

6번 성질은 아래와 같이 증명된다.

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Discrete RV의 Joint CDF와 Joint PDF의 일반형

One Random Variable에서도 Discrete한 경우 CDF, PDF의 일반형이 있듯이 Two Random Variable에서도 존재한다.

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Independence of Two Random Variable

우선 두 Random Variable이 independent하다는 것은 아래의 정의를 만족한다는 것이다.

따라서 아래와 같이 CDF와 PDF의 경우에도 Joint식이 각각의 곱으로 표현된다.

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