Exponential distribution / Poisson distribution

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Exponential distribution

지수분포는 연속 확률 분포의 일종이다. 사건이 서로 독립적일때 다음 사건이 일어날 때까지의 대기 시간이 지수분포를 따른다.

PDF는 아래와 같이 정의된다.

 

CDF는 아래와 같이 정의 된다.

 

확률 변수 X가 빈도  λ를 모수로 갖는 지수분포를 따른다면, 기댓값은 아래와 같이 된다.

이는 단위 시간당 사건이 λ회 발생한다면 사건 발생까지 평균적으로 1/λ 시간만큼 기다린다는 것이다.

 

분산은 아래와 같이 계산되는 것을 알 수 있다.

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Poisson Distribution

포아송 분포는 단위 시간당 사건이 몇 번 발생할 것인지를 표현하는 이산 확률 분포이다. 단위 시간당 사건이 발생하는 횟수의 평균이 λ라고 했을 때 그 사건이 k회 일어날 확률은 아래와 같다.

해당 식을 이용하여 PDF와 CDF를 그려보면 아래와 같다.

PDF

CDF

 

식에서 쉽게 유도할 수 있듯이 평균은 np= λ이고 분산도 np(1-p)= λ이 된다.

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